Inverse Probleme beschäftigen sich mit der „Kunst“, Größen, die direkten Messungen nicht zugänglich sind, aus indirekten Beobachtungen zu deduzieren. Daher haben sie zahlreiche Anwendungen, die von der medizinischen Bildgebung über Materialcharakterisierung bis hin zur Parameteridentifikation in der Systembiologie reichen.
Viele komplexe Prozesse in Naturwissenschaften, Medizin und Technik werden durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen beschrieben. Diese Modelle enthalten of unbekannte Parameter wie zum Beispiel räumlich variierende Koeffizienten, Quellterme, Anfangs- oder Randbedingungen, deren Bestimmung aus gemessenen Daten nach Diskretisierung auf hochdimensionale inverse Probleme führt.
Die besondere Herausforderung bei inversen Problemen liegt in deren inhärenter Instabilität in dem Sinne, dass kleine Störungen in den Daten zu großen Abweichungen in der Rekonstruktion führen können. Daher müssen Regularisierungsverfahren entwickelt und angewandt werden, um sich der Lösung eines inversen problems entlang einem stabilen Pfad anzunähern, unter Berücksichtigung der erwähnten Instabilität und der Tatsache, dass die gegebenen Daten meist mit Messfehlern behaftet sind. Eine weitere wesentliche Frage ist jeden der Identifizierbarkeit, also, ob die gesuchten Größen überhaupt durch die gegebenen Daten eindeutig bestimmt sind.
Unsere Forschung im Bereich der Inversen Probleme fokussiert sich auf die Enwicklung, Analyse und Implementierung von Regularisierungsverfahren. Dies beinhaltet mathematische Modellierung und numerische Simulation der jeweiligen direkten Probleme, sowie Optimierung im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen.
Beispiele von Anwendungsfeldern, in denen wir derzeit arbeiten, sind medizinische Bildgebung, Charakterisierung intelligenter Materialien, einschließlich der Modellierung von Hysterese (Piezoelektizität, Elektromagnetik), nichtlineare Akustik in medizinischen Anwendungen von Hochleistungsultraschall und Parameteridentifikation in der Systembiologie.
