Die Mathematik hinter den Verschlüsselungscodes

Der Mathematiker Clemens Heuberger verwendet Ziffern, Automaten und Bäume, um die Verschlüsselungstechniken im Internet sicherer und schneller zu machen.

Verschlüsselungen werden in einer modernen, digitalen Welt immer wichtiger und sind schon längst mehr keine Angelegenheit der Geheimdienste. Die Basis aller Online-Geschäfte, des E-Mail-Verkehrs oder der Online-Bankbeziehungen sind mathematische Verschlüsselungscodes.

„Diese Verschlüsselungscodes wollen wir möglichst sicher und gleichzeitig schneller machen. Eine höhere Sicherheit erfordert aber größere Zahlen und mehr Zeit. Das gilt auch für Angreifer auf der anderen Seite, die den Code knacken wollen. Eine mathematische Herausforderung für beide Seiten“, sagt Clemens Heuberger (Institut für Mathematik), der zum FWF-Projekt „Analytische Kombinatorik“ forscht. Dabei geht es darum, die Geschwindigkeiten der Verschlüsselungssysteme präzise zu analysieren und zu vergleichen.

Die Datenverschlüsselung für eine sichere Verbindung im Internet beruht auf effizienten Berechnungen von so genannten Einwegfunktionen. Rechner können diese mathematischen Funktionen einigermaßen leicht ausrechnen, jedoch die Umkehrung oder Entschlüsselung ist für potenzielle Angreifer sehr aufwendig. „Und genau hier setzen wir an und machen die einfache Richtung noch schneller und damit sicherer“, so Heuberger.

Der Schlüssel, der sich im Browser hinter dem „https“ verbirgt, ist nicht das Passwort, das wir verwenden, sondern „eine große, möglichst komplizierte und geheime Zahl“. Das Prinzip der asymmetrischen Verschlüsselung bzw. Kryptographie verwendet zwei Schlüssel: einen öffentlichen und einen privaten. Beide Schlüsselpaare sind über einen mathematischen Algorithmus eng miteinander verbunden. Mit diesen Grundoperationen der asymmetrischen Kryptographie und Rechengeschwindigkeit beschäftigt sich Clemens Heuberger.

Beschleunigung durch minus eins

Ziffernentwicklungen, wie etwa mit negativen Zahlen, können benutzt werden, um die Kryptographie zu beschleunigen, und führen so zu effizienteren Algorithmen. „Wenn man nicht nur die üblichen Ziffern zwischen null und neun zulässt, sondern auch minus eins, so hat man mehr Möglichkeiten für Verschlüsselungen und ist damit auch schneller und sicherer“, fasst der Mathematiker zusammen.

Für die Analyse von Ziffernentwicklung verwendet Heuberger Automaten, ein Konzept aus der theoretischen Informatik. Einen Automaten kann man sich wie eine Black-Box vorstellen, die sich in einem bestimmten Zustand befindet. Dabei werden, laut Heuberger, Ziffern eingelesen, und der Automat „wandelt eine Eingabeziffernfolge in eine optimale Ausgabenziffernfolge um“. Damit kann die Ziffernentwicklung analysiert werden. Ein Automat wiederum kann durch Graphen und Bäume, das sind kreisfreie Graphen, dargestellt werden. Diese Methoden werden miteinander verbunden und vom Projektteam dahingehend weiterentwickelt, bis gezeigt werden kann, dass sich die Größen einer Normalverteilung, der Gaußschen Glockenkurve, annähern.

Dabei sei es interessant, so Heuberger, dass sich immer wieder neue mathematische Fragestellungen für weitere Berechnungen und Funktionswege öffnen. Beispielsweise beschäftigen sich Clemens Heuberger und sein Team mit der Entwicklung eines noch schnelleren Sortieralgorithmus (Quicksort) und analysieren, wie sich der Algorithmus verhält, wenn mehr als zwei Pivotelemente zugelassen werden. „Eine spannende Aufgabe. Wir wissen ja, wie es theoretisch funktioniert, jedoch rechnerisch müssen wir es durchstehen.“