Vom Außen aufs Innere schließen: Inverse Probleme in der Mathematik ermöglichen neue Einblicke

Inverse Probleme in der Mathematik bestimmen die Ursachen für Effekte: Beispielsweise kann man über das Messen von Spannungsverteilung an der Körperoberfläche auf die Beschaffenheit des Gewebes im Körper schließen. Die Lösung solcher Probleme ist derzeit häufig sehr rechenzeitintensiv. Barbara Kaltenbacher arbeitet daher nun in einem FWF-Projekt an neuen Rechenverfahren für allgemeine inverse Probleme.

In der elektrischen Impedanztomografie (EIT) misst man elektrische Spannungsmuster an der Hautoberfläche, die sich einstellen, wenn man mittels Elektroden kleine Ströme in den Körper einbringt. Weil jedes Gewebe eine unterschiedlich starke elektrische Leitfähigkeit hat, kann man so auf dessen Beschaffenheit schließen und beispielsweise Tumore aufspüren. „Eine gewisse Leitfähigkeit im Inneren erzeugt also bestimmte Spannungsmuster im Äußeren. Wir haben auf der einen Seite eine Ursache und auf der anderen Seite eine Wirkung“, erläutert Barbara Kaltenbacher (Institut für Mathematik). Bei den inversen Problemen geht es nun darum, von der Wirkung auf die Ursache rückrechnen zu können.

Barbara Kaltenbacher erklärt weiter: „Dazu gibt es bereits viele Verfahren. Die meisten davon sind aber noch recht aufwändig.“ So müsse man derzeit schrittweise vorgehen: Man ändert die Parameter in der Ursache und untersucht dann, ob die dazugehörige Wirkung der beobachteten Wirkung entspricht – wenn nicht, müssen die Parameter weiter modifiziert werden. So nähert man sich langsam dem Ziel. Diese so genannten Vorwärtsoperatoren sind häufig sehr rechenzeitintensiv zu evaluieren und manchmal auch einfach gar nicht verfügbar. Kaltenbacher möchte daher einen anderen Blick einnehmen: „Wir wollen alles auf einmal betrachten, das heißt, das mathematische Modell und die Beobachtungen. Dadurch erhoffen wir uns bessere Lösungen.“ In dem Projekt geht es nun darum, den Nachweis zu erbringen, dass diese neuartigen Rechenverfahren funktionieren.

Anwendungen finden sich nicht nur in der Medizin, sondern auch in der Materialcharakterisierung oder in der Werkstoffprüfung. So ließen sich beispielsweise auch Risse und Defekte in Materialien von außen errechnen. Auf einer abstrakteren Ebene sind inverse Probleme überall dort zu finden, wo von einer Wirkung auf eine Ursache zurückgerechnet werden muss.